O Que É uma Equação do Segundo Grau
Uma equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma:
ax² + bx + c = 0
Onde a, b e c são coeficientes numéricos e a ≠ 0 (se a fosse zero, não seria de segundo grau). O termo ax² é o termo quadrático, bx é o termo linear e c é o termo independente.
Exemplos de equações do segundo grau:
- x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
- 2x² + 3x - 7 = 0 (a=2, b=3, c=-7)
- -x² + 4 = 0 (a=-1, b=0, c=4) — equação incompleta, sem o termo bx
- 3x² - 12x = 0 (a=3, b=-12, c=0) — equação incompleta, sem o termo c
Resolver uma equação do segundo grau significa encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes da equação.
A Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática) é o método mais usado para resolver equações do segundo grau:
x = (-b ± √Δ) / 2a
Onde Δ (delta, chamado de discriminante) é:
Δ = b² - 4ac
O símbolo ± significa que a fórmula gera duas soluções: uma somando a raiz de delta e outra subtraindo. Essas duas soluções são as duas raízes da equação (x₁ e x₂).
Passo a Passo para Resolver
Vamos resolver a equação x² - 5x + 6 = 0 usando Bhaskara:
Passo 1: Identificar os coeficientes:
a = 1, b = -5, c = 6
Passo 2: Calcular o delta (Δ):
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Passo 3: Calcular as raízes:
x = (-b ± √Δ) / 2a = (-(-5) ± √1) / 2(1) = (5 ± 1) / 2
x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
x₂ = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2
Verificação: Substituindo x = 3 na equação original: 3² - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. Correto. Substituindo x = 2: 2² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Correto.
Use a Calculadora de Equação do Segundo Grau para resolver qualquer equação automaticamente.
O Papel do Delta (Δ) — Discriminante
O valor do delta determina a natureza das raízes da equação. Essa é uma informação essencial:
| Valor de Δ | Significado | Número de Raízes Reais |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes reais diferentes | 2 |
| Δ = 0 | Duas raízes reais iguais (raiz dupla) | 1 (repetida) |
| Δ < 0 | Nenhuma raiz real (raízes complexas) | 0 (no campo real) |
Exemplo com Δ = 0
Equação: x² - 6x + 9 = 0
Δ = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
x = (6 ± √0) / 2 = 6 / 2 = 3
A equação tem uma raiz dupla: x = 3. Graficamente, a parábola toca o eixo x em apenas um ponto.
Exemplo com Δ < 0
Equação: x² + 2x + 5 = 0
Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Como Δ é negativo, não existe raiz quadrada real de -16. A equação não tem solução no conjunto dos números reais. Graficamente, a parábola não toca o eixo x.
Mais Exemplos Resolvidos
Exemplo com coeficientes negativos
Equação: -2x² + 8x - 6 = 0
Coeficientes: a = -2, b = 8, c = -6
Δ = 8² - 4(-2)(-6) = 64 - 48 = 16
x = (-8 ± √16) / 2(-2) = (-8 ± 4) / (-4)
x₁ = (-8 + 4) / (-4) = (-4) / (-4) = 1
x₂ = (-8 - 4) / (-4) = (-12) / (-4) = 3
Raízes: x₁ = 1 e x₂ = 3.
Exemplo com números decimais
Equação: 0,5x² - 1,5x - 1 = 0
Dica: multiplique tudo por 2 para eliminar decimais: x² - 3x - 2 = 0
Δ = (-3)² - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17
x = (3 ± √17) / 2
x₁ = (3 + 4,123) / 2 ≈ 3,56
x₂ = (3 - 4,123) / 2 ≈ -0,56
Para calcular raízes e potências, use também a Calculadora de Potência e Raiz.
Equações Incompletas do Segundo Grau
Quando b = 0 ou c = 0, a equação é incompleta e pode ser resolvida sem Bhaskara:
Quando c = 0 (ax² + bx = 0)
Coloque x em evidência:
x(ax + b) = 0
Uma raiz é x = 0 e a outra é x = -b/a.
Exemplo: 3x² - 12x = 0 → x(3x - 12) = 0 → x = 0 ou x = 4
Quando b = 0 (ax² + c = 0)
Isole x²:
x² = -c/a
Se -c/a é positivo, x = ±√(-c/a). Se é negativo, não há raiz real.
Exemplo: x² - 16 = 0 → x² = 16 → x = ±4
Relações de Girard (Soma e Produto das Raízes)
Sem resolver a equação, é possível encontrar a soma e o produto das raízes:
- Soma das raízes: x₁ + x₂ = -b/a
- Produto das raízes: x₁ × x₂ = c/a
Essas relações são úteis para verificar se as raízes calculadas estão corretas e para construir equações a partir das raízes.
Exemplo: Na equação x² - 5x + 6 = 0 (raízes 2 e 3):
Soma: 2 + 3 = 5 = -(-5)/1 = 5. Confere.
Produto: 2 × 3 = 6 = 6/1 = 6. Confere.
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