Sequência com diferença constante
Progressão Aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo é obtido **somando uma constante** chamada razão (r) ao termo anterior. É uma das estruturas matemáticas mais simples e presentes no cotidiano — qualquer situação de crescimento ou decréscimo a passos iguais é uma PA. As fórmulas principais: - **Termo geral**: an = a1 + (n − 1) × r — calcula qualquer termo a partir do primeiro - **Soma dos n primeiros termos**: Sn = n × (a1 + an) ÷ 2 — a famosa "soma de Gauss" Exemplo: PA com a1 = 5 e razão r = 3. Os termos são 5, 8, 11, 14, 17, 20... O 10º termo = 5 + (10 − 1) × 3 = **32**. A soma dos 10 primeiros = 10 × (5 + 32) ÷ 2 = **185**. A história mais famosa da PA: conta-se que o matemático Gauss, ainda criança, foi desafiado pelo professor a somar todos os números de 1 a 100. Em segundos, respondeu **5.050** — ele percebeu que 1+100 = 2+99 = 3+98 = ... = 101, e havia 50 desses pares: 50 × 101 = 5.050. É exatamente a fórmula da soma de PA. A PA aparece no dia a dia em: - **Parcelamentos com amortização constante (SAC)**: a parte da amortização é fixa, formando uma PA - **Reajustes lineares**: um salário que sobe R$ 200 por ano segue uma PA - **Numeração de assentos, andares, fileiras**: progressões aritméticas simples - **Depreciação linear**: um bem que perde valor fixo por ano - **Economia programada simples**: guardar R$ 100 a mais a cada mês A diferença essencial entre PA e PG: na PA o crescimento é **linear** (linha reta no gráfico); na PG é **exponencial** (curva acelerada). Por isso, em planejamento financeiro de longo prazo, entender qual modelo se aplica muda completamente as projeções — confundir crescimento linear com exponencial é erro caro. Esta calculadora computa o termo geral e a soma dos n primeiros termos de uma PA a partir do primeiro termo, razão e número de termos. Use para resolver problemas escolares e de concursos, calcular somatórios, modelar crescimento ou decréscimo linear e planejar sequências de valores. Para sequências de crescimento multiplicativo (juros compostos, crescimento viral), use a calculadora de Progressão Geométrica.
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an = a1 + (n−1)·r Sn = n·(a1 + an)/2
an = a1 + (n−1)·r Sn = n·(a1 + an)/2
Começando com R$ 200 e aumentando R$ 50 por mês, no 12º mês deposita R$ 750, totalizando R$ 5.700 no ano.
a1 = R$ 200, r = R$ 50, n = 12 meses
a12 = 200 + (12−1) × 50 = 200 + 550 = R$ 750,S12 = 12 × (200 + 750) / 2 = 12 × 475 = R$ 5.700
PA decrescente: começa em 100, diminui 10 a cada termo. Útil para modelar depreciação linear.
a1 = 100, r = −10, n = 8
a8 = 100 + (8−1) × (−10) = 100 − 70 = 30,S8 = 8 × (100 + 30) / 2 = 8 × 65 = 520
Sabendo o primeiro e o último termo, é possível encontrar a razão dividindo a diferença por (n−1).
a1 = 5, a10 = 50, n = 10
50 = 5 + (10−1) × r,45 = 9r,r = 5
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É a diferença constante entre termos consecutivos.
Sim, usando Sn = n(a1+an)/2.
Sim. Isso gera uma sequência decrescente.
Média é a soma dividida pela quantidade; mediana é o valor central; moda é o valor que mais se repete.
Para mediana, sim (a calculadora faz isso automaticamente).
Sim, valores com casas decimais são aceitos.
Amostral usa n−1 no denominador; populacional usa n. A escolha depende se você tem a população inteira ou uma amostra.
Use como medida de tendência central/variabilidade para comparar conjuntos de dados.
Você pode inserir vários valores; em listas muito grandes, prefira colar os números em sequência.