Sequência com razão multiplicativa
Progressão Geométrica (PG) é a sequência numérica em que cada termo é obtido **multiplicando o anterior por uma constante** chamada razão (q). Diferente da Progressão Aritmética, onde se soma um valor fixo, na PG se multiplica — e por isso a PG cresce (ou decresce) de forma exponencial, não linear. As fórmulas principais: - **Termo geral**: an = a1 × q^(n−1) — o n-ésimo termo a partir do primeiro - **Soma dos n primeiros termos**: Sn = a1 × (q^n − 1) ÷ (q − 1), para q ≠ 1 - **Soma infinita (quando |q| < 1)**: S = a1 ÷ (1 − q) Exemplo: PG com a1 = 3 e razão q = 2. Os termos são 3, 6, 12, 24, 48, 96... O 8º termo = 3 × 2^7 = **384**. A soma dos 8 primeiros = 3 × (2^8 − 1) ÷ (2 − 1) = **765**. A PG está presente em situações muito mais comuns do que parece: - **Juros compostos**: o saldo de um investimento que rende taxa fixa segue uma PG (razão = 1 + taxa). É a matemática por trás do "juros sobre juros". - **Crescimento populacional / viral**: quando algo dobra a cada período, é PG de razão 2. - **Depreciação exponencial**: um bem que perde 20% do valor por ano segue PG de razão 0,80. - **Meias-vidas**: decaimento radioativo, eliminação de medicamentos do organismo — PG de razão 0,5. - **Xadrez e o grão de trigo**: a lenda clássica (1 grão na primeira casa, dobrando até a 64ª) é uma PG que resulta em número astronômico — ilustra o poder do crescimento geométrico. A diferença entre PG e PA no longo prazo é dramática. Uma PA de razão 10 começando em 10 chega ao 20º termo valendo 200. Uma PG de razão 1,1 (10% de crescimento) começando em 10 chega ao 20º termo valendo ~61 — mas se a razão fosse 2, o 20º termo passaria de 5 milhões. É por isso que crescimento composto é tão poderoso (e juros compostos tão perigosos quando você está do lado de devedor). Esta calculadora computa o termo geral, a soma dos n primeiros termos e (quando aplicável) a soma infinita de uma PG a partir do primeiro termo, razão e número de termos. Use para resolver problemas escolares e de vestibular, entender a matemática de juros compostos, modelar crescimento exponencial e calcular decaimentos. Para sequências com soma constante (não multiplicação), use a calculadora de Progressão Aritmética.
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an = a1 · q^(n−1) Sn = a1·(q^n − 1)/(q − 1) (q≠1) Se q=1: Sn = n·a1
an = a1 · q^(n−1) Sn = a1·(q^n − 1)/(q − 1) (q≠1) Se q=1: Sn = n·a1
Um investimento de R$ 1.000 que rende 1% ao mês cresce em PG — o 12º termo é R$ 1.115,67.
a1 = R$ 1.000, q = 1,01 (1% a.m.), n = 12
a12 = 1.000 × 1,01^11 ≈ R$ 1.115,67,S12 = 1.000 × (1,01^12 − 1) / (1,01 − 1) ≈ R$ 12.682,50
Um carro que perde 20% do valor a cada ano vale R$ 20.480 após 5 anos.
a1 = R$ 50.000, q = 0,8 (perde 20%/ano), n = 5
a5 = 50.000 × 0,8^4 = 50.000 × 0,4096 = R$ 20.480,S5 = 50.000 × (0,8^5 − 1) / (0,8 − 1) ≈ R$ 131.200
Dobrando seguidores todo mês, em 6 meses vai de 500 para 16.000 (total acumulado de 31.500).
a1 = 500, q = 2 (dobra por mês), n = 6
a6 = 500 × 2^5 = 500 × 32 = 16.000,S6 = 500 × (2^6 − 1) / (2 − 1) = 500 × 63 = 31.500
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É o fator multiplicativo entre termos consecutivos.
A PG fica constante e a soma é n·a1.
Sim, isso gera termos decrescentes (em módulo).
Média é a soma dividida pela quantidade; mediana é o valor central; moda é o valor que mais se repete.
Para mediana, sim (a calculadora faz isso automaticamente).
Sim, valores com casas decimais são aceitos.
Amostral usa n−1 no denominador; populacional usa n. A escolha depende se você tem a população inteira ou uma amostra.
Use como medida de tendência central/variabilidade para comparar conjuntos de dados.
Você pode inserir vários valores; em listas muito grandes, prefira colar os números em sequência.